allow、permit、letは「許す・許可する」という意味ですが、使い方や文法に違いがあります。

Allow：フォーマルまたは日常。allow + 人 + to 動詞の原形 の形で使う。「〜が〜するのを許す」

Permit：よりフォーマル。permit + 人 + to 動詞の原形 の形で使う。「〜が〜することを正式に許可する」

Let：カジュアルな口語表現。let + 人 + 動詞の原形 の形で使う。「〜に〜させてあげる／させる」

例:

My parents allowed me to go to the party.
（両親は私がパーティーに行くのを許してくれました。）

The teacher permitted the students to use a dictionary during the test.
（先生はテスト中に辞書の使用を許可しました。）

She let me borrow her bike.
（彼女は私に自転車を貸してくれました。）

ポイントまとめ:

• allow / permit は「to 不定詞」が必要。
• let は「to」なしで直接動詞の原形。
• permit はより正式で書き言葉に使われやすい。