すべて『たくさんの』を意味しますが、使い方が異なります。

Much は数えられない名詞と使います。

Many は数えられる名詞と使います。

A lot of は、どちらにも使える便利な表現です。

例:

There isn’t much water left.
(水はあまり残っていない)

There aren’t many apples left.
(リンゴはあまり残っていない)

There are a lot of people here
(ここにはたくさんの人がいる).